Caractérisation vectorielle d'une droite de l'espace

Définition

Soit \(d\) une droite de l'espace.
Un vecteur non nul \(\overrightarrow{u}\) est appelé vecteur directeur de la droite  \(d\) s'il existe deux points distincts \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\) de \(d\) tels que  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}=\overrightarrow{u}\) .

Propriété

Soit \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\) deux points distincts de l'espace.
La droite  \(\mathrm{(AB)}\) est l’ensemble des points \(\mathrm{M}\) de l'espace tels que le vecteur \(\mathrm{\overrightarrow{AM}}\)   est colinéaire au vecteur  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) .
Ainsi, la droite \(\mathrm{(AB)}\) est l'ensemble des points \(\mathrm{M}\) de l’espace tels que  \(\mathrm{\overrightarrow{AM}} = k\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) , où \(k\) est un réel. 

Remarques

• Une droite \(d\) de l'espace est définie de manière unique par la donnée de deux points distincts.
  
• Une droite \(d\) de l'espace est définie de manière unique par la donnée d'un point \(\mathrm{A}\) et d'un vecteur \(\overrightarrow{u}\) non nul.