Caractérisation vectorielle d'une droite de l'espace

Définition

Soit $d$ une droite de l'espace.
Un vecteur non nul $\overrightarrow{u}$ est appelé vecteur directeur de la droite  $d$ s'il existe deux points distincts $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ de $d$ tels que  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{u}$ .

Propriété

Soit $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ deux points distincts de l'espace.
La droite  $(\mathrm{AB})$ est l’ensemble des points $\mathrm{M}$ de l'espace tels que le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$   est colinéaire au vecteur  $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ .
Ainsi, la droite $(\mathrm{AB})$ est l'ensemble des points $\mathrm{M}$ de l’espace tels que  $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ , où $k$ est un réel. 

Remarques

• Une droite $d$ de l'espace est définie de manière unique par la donnée de deux points distincts.
  
• Une droite $d$ de l'espace est définie de manière unique par la donnée d'un point $\mathrm{A}$ et d'un vecteur $\overrightarrow{u}$ non nul.